数学题的解法是怎么想到的——波利亚《怎样解题》

一个科学家如果只是做出了给科学宝库增加财富的发现，而不能坦率阐述那引导他做出发现的思想，那么他就没有给科学做出足够的工作。——欧拉

匈牙利裔美国数学家乔治·波利亚¹（对，就是那个发明了「波利亚计数定理」的波利亚）写过三本神书，分别是：

• 《怎样解题》(1944)
• 《数学的合情推理（上下两卷：数学中的归纳和类比+合情推理模式）》(1954)
• 《数学的发现》(1962,1965)

这里就简单说说第一本《怎样解题》。

这本书对数学学习者和教育者的意义非常重大，而且小学生都能看懂，强烈建议所有需要学数学的（包括义务教育数学）的人都去下一本读读，读得越早越好。可以极大提高任何阶段数学的学习乐趣、解题能力和考试成绩。我这个 80 后是本科才知道这本书，悔之晚矣。

于是我有机会就会向其他人推荐这本书，光知乎上就写过至少两个回答²。

这本书的初版序（1944 年写于斯坦福大学）里有这么一段话：

作者还记得自己的学生时代，那是他还是一个有点雄心的学生，渴望能懂一点数学和物理学。他听课、看书，试图领会所给出的解答及事实。但是有一个问题却一再困扰着他：「是的，这个解答看来是行的，它似乎是正确的，但怎样才能想到这样一个解答呢？是的，这个实验看起来可行，这似乎是事实，但是人们怎么会发现这些事实的？而我自己如何才能想到或发现它们呢？」 如今，作者正在一所大学中教授数学。他认为，或者说他希望，他的一些更努力的学生能提出类似的一些问题，他会尽力去满足他们的好奇心。不仅要尽力去理解这道或那道题目的解答，而且要去理解这个解答的动机和步骤，并尽力向别人解释这些动机和步骤，这就最终导致他写了现在这本书。作者希望本书对于那些期望提高学生解题能力的教师，以及对于渴望提高个人能力的学生都会有用。

另外，西安电子科技大学的博士生导师刘三阳在一次报告中介绍：

欧拉说：「一个科学家如果只是做出了给科学宝库增加财富的发现，而不能坦率阐述那引导他做出发现的思想，那么他就没有给科学做出足够的工作。」 波利亚说：「在前辈数学家中，欧拉对我的影响最大。主要原因在于，欧拉做了一些跟他才能相当的伟大数学家从没有做过的事。即他解释了他是如何发现他的结果的。对此，我如获至宝。」

《怎样解题》这本书里讲述了一种可操作性很强的解题思考步骤。不但学生可以用这些步骤解题，老师也应该积极引导学生遵循这些步骤思考（有些学霸可能自行摸索出、或者在很小的时候被老师或父母培养过这套方法，并在义务教育阶段充分打磨过，从而获得了超强的解题能力）。

这三本书的方法论不涉及数学知识，所以任何阶段都可以读。 书里为了方便读者理解，有很多例题。例题可能会用到一些数学知识。每本书都有初等的例题和较高等的例题。一般来说，只要有初等几何知识（如全等三角形、圆、勾股定理之类）就够了。这里有一道书里的例题。 当然，如果是学校老师的话，哪怕是小学数学老师，也建议全套都看一遍。

在此略微摘录一下这套方法的概述。包含四个步骤：

1. 理解题目。明确未知量、已知数据和条件。
2. 拟定方案（本书核心！）。了解各个项目是如何相关的，未知量和数据之间有什么关系，以得到解题的思路。数学老师以这样一个问题作为开始是很适当的：「你知道一道与它相关的题目吗？」「观察未知量，并尽力想出一道你熟悉的具有相同或相似未知量的题目。」「这里有一道题和你的题目相关而且以前解过。你能利用它吗？」「你能重新叙述这道题目吗？」「如果你不能解出这道题目，先试着解答这道相关的题目。」「你用到所有数据了吗？你用到所有条件了吗？」
3. 执行。执行上一步的计划。
4. 回顾。检查和讨论上一步完成的解答。

由于这本书只有扫描版，所以上面都是我手打的，很不详细，但已经尽量介绍了这本书的特征：不是教具体解法，而是教「想到解法的过程」，而后者可以通用于所有数学问题，甚至所有领域的问题。

最后说一下，波利亚这三本解题神书：《怎样解题》(1944)、《数学的合情推理（上下两卷：数学中的归纳和类比+合情推理模式）》(1954)和《数学的发现》(1962,1965)，都早就翻译成了中文。虽然可以下载电子版³，但其实非常建议买实体书，因为捧在手里翻阅的时候，能感受到神级数学家在谆谆善诱地打通你数学思考的任督二脉。